[1편] 선형대수란 무엇인가

선형대수란 무엇인가?

선형대수학은 수학의 한 분야로, 벡터와 행렬을 다루며, 다양한 기술적 분야에서 필수적인 도구로 사용됩니다. 이 학문은 수학적 계산뿐만 아니라 기하학적 직관을 통해 문제를 이해하고 해결하는 데 중점을 둡니다.

기하학적 직관은 수학적 개념이나 문제를 시각적이고 공간적인 방식으로 이해하는 능력을 말합니다. 이는 복잡한 수학적 연산을 단순한 시각적 이미지로 변환하여 더 쉽게 이해하고, 문제를 해결하는 데 도움을 줍니다.

많은 학생들이 선형대수학의 수치적 계산은 잘 배우지만, 그 기하학적 의미와 직관은 제대로 이해하지 못하고 있습니다. 기하학적 이해는 특정 문제를 해결하기 위해 어떤 도구를 사용해야 하는지 판단하고, 그것이 왜 작동하는지 느끼고, 결과를 어떻게 해석해야 하는지 알게 해줍니다.

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주요 개념

선형대수학에서의 기하학적 직관은 다음과 같은 것들을 포함합니다:

1. 벡터를 단순한 숫자 목록이 아닌 크기와 방향을 가진 화살표로 시각화하는 것
2. 행렬 곱셈을 공간의 변환(회전, 확대/축소, 반사 등)으로 이해하는 것
3. 행렬식을 공간의 부피 변화로 해석하는 것
4. 고유값과 고유벡터를 특정 방향으로의 확대/축소로 이해하는 것

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1. 벡터(Vector)란?

벡터는 크기와 방향을 가진 수학적 개체입니다.

예: $$ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} $$

→ 2D 평면에서 (3,2) 위치의 점

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2. 행렬 곱셈(Matrix Multiplication)이란?

행렬과 벡터 또는 행렬과 행렬을 곱하는 연산입니다.

• 행렬 × 벡터: 선형 변환을 적용하는 것

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix}  $$

$$  A\mathbf{v} = \begin{bmatrix} (2 \times 4) + (1 \times 5) \\ (0 \times 4) + (3 \times 5) \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 13 \\ 15 \end{bmatrix} $$

→ 벡터가 새로운 위치로 변환됨.

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행렬과 벡터를 곱하는 연산은 행렬이 변하는 것이 아니라, 벡터가 변환되는 과정입니다.

• 행렬 $ A $는 고정된 선형 변환(Transformation) 역할을 합니다.
• 벡터 $ \mathbf{v} $는 변환을 받는 대상입니다.
• 따라서 $ A\mathbf{v} $ 연산은 벡터 $ \mathbf{v} $가 변환된 결과를 나타냅니다.

• 행렬 × 행렬: 연속적인 변환을 한 번에 표현

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3. 행렬식(Determinant)이란?

행렬이 공간을 얼마나 확대, 축소, 또는 왜곡하는지를 나타내는 값입니다.

• 2×2 행렬의 행렬식
  $$ \det(A) = ad - bc $$
• 기하학적 의미
  • $ \det(A) > 0 $ → 공간이 유지됨
  • $ \det(A) < 0 $ → 공간이 뒤집힘((반사))
  • $ \det(A) = 0 $ → 공간이 찌그러져 차원이 줄어듦((선형 종속))

 

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"공간이 유지된다"는 의미

• 행렬 변환 후에도 벡터들의 상대적인 위치나 방향이 유지되며, 크기가 일정한 비율로 조정될 뿐 구조 자체는 변하지 않는다는 것입니다.
• 선형 변환이 벡터들의 상대적인 관계를 그대로 유지한다는 의미입니다. 즉, 변환 후에도 직선성이 유지되고, 벡터들의 상대적인 위치나 각도가 보존되는 경우를 말합니다.

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4. 고유값과 고유벡터(Eigenvalues & Eigenvectors)란?

고유값과 고유벡터는 특정 변환에서 변하지 않는 방향을 찾는 개념입니다. 선형 변환(행렬 $ A $로 표현)에서 어떤 벡터가 변환 후에도 방향은 유지되고 크기만 변하는 경우를 분석하는 도구입니다.

• 정의
  $ A $: 행렬 (선형 변환을 나타냄)
  $ v $: 고유벡터 (변환 후에도 방향이 변하지 않는 벡터, 단 ($ v $ ≠ 0)
  $ λ $: 고유값 (고유벡터의 길이가 얼마나 변하는지 나타내는 스칼라 값)
  
  
• 수식

$$ A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $$

이는 행렬 $ A $가 고유벡터 $ v $를 변환하면, 결과가 단순히 $ 𝜆 $배 된 $ v $v라는 뜻입니다.

• 예제
  • 즉, 이 두 방향의 벡터는 변환 후에도 같은 방향을 유지하지만 길이만 변함.
    $$ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $$

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $$

\[
A\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2 \cdot 1) + (1 \cdot 1) \\ (1 \cdot 1) + (2 \cdot 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}
\]

\[
A\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2 \cdot 1) + (1 \cdot -1) \\ (1 \cdot 1) + (2 \cdot -1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 - 1 \\ 1 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}
\]

즉, $\mathbf{v}_1$ 과 $\mathbf{v}_2$ 는 행렬 $A$에 의해 변환될 때 방향이 유지되고, 길이만 고유값(3 또는 1)에 따라 변합니다.

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퀴즈

문제: 2차원 벡터 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix}$를 기하학적으로 어떻게 해석할 수 있나요?  
설명: $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix}$는 원점에서 x축으로 4단위, y축으로 3단위 이동한 (4, 3) 위치의 점

문제: 행렬 $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$를 벡터에 곱하면 어떤 변환을 의미하나요?  
설명: 90도 반시계 방향 회전
예: $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$에 곱하면 $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$로 변환

문제: 행렬 $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$의 행렬식과 공간 변화는?  
설명: $\det(A) = 2 \times 2 = 4$, 모든 방향으로 2배 확장되므로 면적이 4배 증가